Class 10th Maths chapter 1.1(Question 1) Real Numbers

वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) गणित में संख्याओं का एक महत्वपूर्ण समूह हैं, जो परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का सम्मिलित रूप हैं। इनका उपयोग हम अपने दैनिक जीवन में लंबाई, समय, तापमान, द्रव्यमान आदि को मापने के लिए करते हैं। --- ✅ वास्तविक संख्या की परिभाषा वास्तविक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिन्हें दशमलव के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसमें संपूर्ण संख्याएँ, भिन्न, दोहराए जाने वाले दशमलव और अपरिमेय संख्याएँ शामिल हैं। इन्हें गणित में ℝ से दर्शाया जाता है। --- 🔢 वास्तविक संख्याओं के प्रकार वास्तविक संख्याएँ दो मुख्य श्रेणियों में बाँटी जाती हैं: 1. परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers): वे संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0। उदाहरण: 1/2, -3, 0.75 आदि। 2. अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers): वे संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, और जिनका दशमलव विस्तार अनंत और आवर्ती नहीं होता। उदाहरण: √2, π, e आदि। --- 🧮 वास्तविक संख्याओं के गुण वास्तविक संख्याएँ निम्नलिखित गुणों से युक्त होती हैं: संवृत गुणधर्म (Commutative Property): जोड़ और गुणा में क्रम बदलने से परिणाम पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता। क्रमविनिमेय गुणधर्म (Associative Property): जोड़ और गुणा में समूहबद्धता बदलने से परिणाम पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता। साहचर्य गुणधर्म (Distributive Property): गुणा जोड़ पर वितरित होती है। न्यूनतम और अधिकतम तत्व (Identity Elements): जोड़ में 0 और गुणा में 1 न्यूनतम और अधिकतम तत्व होते हैं। --- 📐 वास्तविक संख्या रेखा वास्तविक संख्याओं को एक रेखा पर निरूपित किया जा सकता है, जिसे "संख्या रेखा" कहा जाता है। इस रेखा पर प्रत्येक बिंदु एक वास्तविक संख्या से मेल खाता है, और यह रेखा दोनों दिशाओं में अनंत होती है। --- 🧩 उदाहरण वास्तविक संख्याओं के कुछ उदाहरण: 0, 7, -3, 1/2, 0.25, 2.718281828…, π (π = 3.14159265…) --- यदि आप वास्तविक संख्याओं से संबंधित किसी विशेष विषय पर अधिक जानकारी चाहते हैं, जैसे कि परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के बीच अंतर, या वास्तविक संख्या रेखा पर इनके स्थान, तो कृपया बताएं। मैं आपकी सहायता करने के लिए तैयार हूँ। Govind sir